Việc chứng minh chủ yếu dựa vào tiên đề cận trên đúng phát biểu như sau: Mọi tập hợp con   A {\displaystyle \ A} của tập số thực   R {\displaystyle \ R} , trong đó   A {\displaystyle \ A} bị chặn trên, đều có cận trên đúng là số thực, tức là   s u p ( A ) ∈ R {\displaystyle \ sup(A)\in R}

• Ta chứng minh bằng phản chứng: giả sử không tồn tại số tự nhiên   n {\displaystyle \ n} sao cho

  n x > y {\displaystyle \ nx>y} , nên   ∀ n ∈ N , n x ≤ y {\displaystyle \ \forall n\in N,nx\leq y} .

• Xét tập hợp   A = { n ∈ N | n x ≤ y } {\displaystyle \ A=\lbrace n\in N|nx\leq y\rbrace }
• Rõ ràng A bị chặn trên bởi   y {\displaystyle \ y} và do đó theo tiên đề cận trên đúng,   y {\displaystyle \ y} là cận trên đúng của   A {\displaystyle \ A} .
• Do   x > 0 {\displaystyle \ x>0} nên   y − x < y {\displaystyle \ y-x<y} không là cận trên đúng của   A {\displaystyle \ A} , nên tồn tại một số tự nhiên   n {\displaystyle \ n} sao cho   y − x < n x ≤ y {\displaystyle \ y-x<nx\leq y} (vì nếu không,   y − x {\displaystyle \ y-x} trở thành cận trên đúng của   A {\displaystyle \ A} , trái với giả thiết ban đầu   s u p ( A ) = y {\displaystyle \ sup(A)=y} )
• Tuy nhiên điều này vô lý do

  y − x < n x ↔ y < ( n + 1 ) x {\displaystyle \ y-x<nx\leftrightarrow y<(n+1)x} \, trong đó   n + 1 ∈ N {\displaystyle \ n+1\in N} .

• Vậy điều ta giả thiết là sai, nên phải tồn tại một số tự nhiên   n {\displaystyle \ n} sao cho   n x > y {\displaystyle \ nx>y} .